物の本によると，カメラによる物体の投影を表現する “P行列” は以下のようにあらわされる．

なるほどな．

別の本では以下のように記述されている．

まあそういうこともあるだろう．

ところで，P行列の自由度（DOF, Degree of Freedom）は一般に11とされる．
P行列は全部まとめると3×4行列になるが，定数倍しても意味が変わらないのでここから１を引いて11，という説明がされているのを見かける．

さて，上の二つの式をもう一度見てみよう．
回転行列Rと並進ベクトルtは二つの式で共通で，自由度はともに3であるから，一番左の行列だけで自由度は3+3=6．
真ん中の行列は焦点距離fがあって自由度1．
左の行列は，上の式では変数がa, s, c_x, c_yの4つで自由度4．
下の式では変数がδ_x, δ_y, c_x, c_yの4つで自由度4．

上の式も下の式も全部合わせて4+1+6=11自由度!
世界は今日も平和だなぁ…

ほんまか???

上の式と下の式で異なる点は以下の二点である．

• 上の式ではx軸方向のスキューsが考慮されている．
• 上の式ではアスペクト比aで表しているものを，下の式ではピクセルの物理的なサイズδ_x, δ_yで表している．

これを見て私が抱いた疑問が以下の2点．

• 上の式でもaではなく物理的なサイズδ_x, δ_yで表せば自由度が12になる??
• さらにy軸方向のスキューも考慮すれば自由度が13になる???

式にするとこんな感じ．

しかし自由度12はギリギリ許容できても，3×4行列の自由度が13になることは逆立ちしてもあり得ない．
ではどれが正しくてどれがどう間違っているのか．

順に確かめていこう．

アスペクト比aとピクセルの物理的なサイズδ_x, δ_yについて

結論
“焦点距離f”と”アスペクト比a”のペアで表すか，”ピクセルの（相対的な）物理的サイズδ_x, δ_y”で表すのが冗長の無い表現である．

先程のP行列の式で，下の方の式では焦点距離fとピクセルの物理的なサイズδ_x, δ_yを用いてP行列を表現していた．
これは解釈上はいいのだが，自由度の観点ではこのうちの一つは冗長なので誤解を生じやすい．
変数はf, δ_x, δ_yの三つあるが，実際には自由度は2しかない．

式的な解釈としては，先ほどの式を少し変形して以下の形にするとわかる

．

ここの式を見ると，1/δ_x’=f/δ_x, 1/δ_y’=f/δ_yと置き直しても普遍性を失わないことがわかる．
よって，スキューを考えない場合P行列の自由度は10．
あるいはf’=f/δ_x, a=δ_x/δ_yと置きなおすと，焦点距離とアスペクト比で表現できる．

f, δ_x, δ_yの変数のうち一つが不要である理由を言葉で表現するとどうなるか．
ここでもう一度焦点距離fの意味について問い直すと，これはカメラ座標系のスケールを正規化するためのパラメータとして解釈できる．
焦点距離fによる正規化を行った後，再度ピクセルの物理的なサイズδ_x, δ_yを用いてスケーリングを行うのだが，別に一度正規化を挟まずとも直接，カメラ座標系のスケールに対するピクセルの物理的なサイズδ_x’, δ_y’によってスケーリングしてしまえばそれでよい．
わざわざ一度fでスケーリングを行う必要はない．
（もちろん，処理に物理的な解釈を与えるという観点では重要な操作である）．

もしスキューを考慮しないP行列で自由度が11になると説明する人間が居たら「ほんまか??」をぶつけよう．

y軸方向のスキューについて

結論
y軸方向のスキューは回転R，並進t，焦点距離f，アスペクト比aを取り直すことで消えるので考慮しなくてもよい．仮にy軸方向のスキューを明示的にP行列の式に組み込んでも自由度は変わらず11となる．

証明は以下．

かなり雑に言葉で説明すると，カメラを90度回転させればx軸方向のスキューがy軸方向のスキューになる，という感じ．

画像作り終えてからsinの符号が逆なのに気づいた…．
眠い…，適宜読み替えて読んでください…．

まとめ

P行列の自由度は，
焦点距離f + アスペクト比a + スキューs + 画像中心の座標c_x, c_y
+ カメラの回転R（3自由度） + カメラの並進t（3自由度）= 11自由度．

以上．

Posted on: 2018年3月9日, by : Lait-au-Cafe